第1回：導入 — 組合せ最適化とは何か - 組合せ最適化ノート（Jupyter Book / MyST）

0. この授業で何を学ぶか¶

本授業では、 「選択肢が非常に多い問題の中から、制約を守りつつ最も良い解を見つける方法」 を学ぶ。
特に後半では、進化計算・群知能に属する手法（GA, PSO など）を中心に扱う予定である。

この科目の到達目標（再掲）¶

組合せ最適化アルゴリズムの理論を理解し、実社会の問題に適用できる。

第1回の到達目標¶

第1回終了時に、次を説明できる状態を目指す。

「最適化問題」「組合せ最適化問題」「制約」の違い
なぜ全探索が難しいのか（組合せ爆発）
典型的な組合せ最適化問題の例（巡回セールスマン問題、割当問題、スケジューリング）
厳密解法と近似解法・メタヒューリスティクスの立ち位置
本授業で扱う内容と評価方法

1. 最適化問題の基本¶

1.1 最適化問題とは¶

最適化問題は、一般に次の形で記述できる。

\text{minimize (or maximize)} \quad f(x) \\ \text{subject to} \quad x \in \mathcal{X}, \ g_i(x)\le 0,\ h_j(x)=0

(1)

$x$ : 解（意思決定変数）
$f(x)$ : 目的関数（評価指標）
$g_i, h_j$ : 制約条件
$\mathcal{X}$ : 解候補の集合

1.2 組合せ最適化とは¶

組合せ最適化は、解が 離散的な組合せ で表される最適化問題である。
例として次がある。

都市の訪問順序（TSP: Traveling Salesman Problem）
品物選択（KP: Knapsack Problem）
作業の割当（AP: Assignment Problem）
時間割の作成（Timetabling Problem）
変数が連続値ではなく、離散値（0/1、順列、集合選択）
解空間が有限だが、規模が大きいと現実的に全探索できない
制約が複雑になりやすい（実務要件を反映しやすい）

1.3 組合せ爆発¶

選択肢の数は、要素数 $n$ の増加に対して指数関数的・階乗的に増える場合が多い。

0/1選択問題: 候補数 $2^n$
順列問題: 候補数 $n!$

例：20都市の巡回順序（始点固定）

(20-1)! = 19! \approx 1.216\times 10^{17}

(2)

1秒あたり1億通りを評価できても、全探索には現実的でない時間が必要になる。

2. 典型問題のイメージ¶

2.1 巡回セールスマン問題（TSP）¶

複数都市を1回ずつ訪問して出発点に戻る
総移動距離（または時間）を最小化
解は都市の順列で表される

応用例:

配送ルート最適化
点検巡回計画
基板穴あけ順序最適化

2.2 ナップサック問題¶

重さ制限以内で価値が最大となる品物集合を選ぶ
0/1の選択変数で表現しやすい
多くの実務問題の簡略モデルになる

応用例:

限られた予算での施策選択
計算資源制限下での機能選択
在庫制約下での積載計画

2.3 割当問題・スケジューリング¶

人員や機械をタスクへ割り当てる
納期、優先度、能力差、連続作業制約などが関与
現場の要求を制約としてモデル化しやすい

応用例:

時間割編成
シフト作成
生産計画

3. どう解くか：解法の全体像¶

3.1 厳密解法と近似解法¶

厳密解法¶

最適解を保証する
問題規模が大きいと計算時間が急増しやすい
例: 分枝限定法、動的計画法、整数計画ソルバ

近似解法・ヒューリスティクス¶

計算時間を実用的に抑え、良い解を得る
最適性保証は弱くなる（またはない）
現場では「短時間で十分良い解」が重要になる場面が多い

3.2 メタヒューリスティクス¶

メタヒューリスティクスは、特定問題に依存しない汎用的な探索枠組みである。

代表例:

局所探索（ヒルクライム、焼きなまし法、タブーサーチ）
遺伝的アルゴリズム（GA）
粒子群最適化（PSO）
アリコロニー最適化（ACO）
遺伝的プログラミング（GP）・進化戦略（ES）

4. 産業・社会での活用例¶

物流最適化
- 配送順序、積載、車両台数、時間帯制約を考慮して総コストを削減する。
製造計画
- 段取り替え時間・機械能力・納期を考慮し、遅延と在庫を低減する。
情報システム運用
- サーバ資源割当、ジョブスケジューリング、ネットワーク経路選択を最適化する。
教育現場
- 時間割編成、試験監督割当、教室利用計画を制約付きで調整する。
AIモデル設計
- ハイパーパラメータ探索、NAS、進化的探索により設計を効率化する。

5. この授業の進め方（第1回時点）¶

5.1 週ごとの流れ（概要）¶

1週: 導入（本日）
2〜3週: 数学的最適化・局所探索の基礎
4〜9週: GA・群知能（PSO, ACO 等）
10〜12週: 深層学習への接続・進化的NAS
13〜15週: 演習・発表・まとめ

5.2 成績評価¶

課題: 60%
レポート: 30%
発表: 10%
合計60点以上で単位修得

評価観点:

理論理解 30%
実装能力 30%
プロジェクト演習 40%

5.3 提出物の基本方針¶

使用言語は Python / R / Julia のいずれか
再現可能な形で提出（実行手順・依存関係・入力データを明記）
「動いた」だけでなく、設計意図・評価指標・結果解釈を示す

6. 第1回ミニ演習（授業内）¶

手順¶

問題を1つ選ぶ（例: 時間割調整、課題実施順、移動ルート）
目的関数を1つ決める（例: 時間最小、移動距離最小、満足度最大）
制約を3つ以上書く（例: 時間上限、優先科目、連続作業禁止）
解の表現を定義する（例: 順列、0/1ベクトル、割当表）
その問題で全探索が難しい理由を書く

提出フォーマット（授業内メモ）¶

以下のテンプレートを利用すること。

[問題名]

1. 目的関数:
2. 制約:
   - C1:
   - C2:
   - C3:
3. 解の表現:
4. 解候補数の見積もり:
5. 全探索が難しい理由:

7. 実装に向けた準備（次回まで）¶

次回以降は簡単な実装を始めるため、次を準備すること。

開発環境（Python / R / Julia いずれか）
乱数・配列操作・可視化の基本ライブラリ
コード再実行可能な構成（Notebook または script + README）

Pythonを選ぶ場合の最小例（参考）:

import random

def objective(x: list[int]) -> int:
    """目的関数の最小例（ダミー）。

    Args:
        x: 整数のリスト。

    Returns:
        ``x`` の要素の和。
    """
    return sum(x)

candidate = [random.randint(0, 1) for _ in range(10)]
print(candidate, objective(candidate))

8. まとめ¶

組合せ最適化は、離散的な解候補から制約を満たす最良解を探す問題である。
実問題では組合せ爆発が起こるため、全探索は多くの場合非現実的である。
そのため厳密解法と近似解法を使い分ける。
本授業では特にGA・PSOなどのメタヒューリスティクスを中心に扱う。
第2回以降は、モデル化の精度と実装力の両方を段階的に強化する。

9. 確認問題¶

組合せ最適化における「解」「目的関数」「制約」をそれぞれ説明せよ。
20都市のTSPで全探索が難しい理由を、解候補数の観点から述べよ。
厳密解法とメタヒューリスティクスの違いを、計算時間と最適性保証の観点で述べよ。
自分が興味を持つ実問題を1つ挙げ、解表現の案を示せ。